Techniques de résolution du sudoku : du premier balayage à la Conjecture
Voici le guide complet du professeur Hoot sur les techniques de résolution du sudoku, et sur la logique de tous les autres casse-tête du site. Il part du premier balayage pour arriver aux paires nues, aux paires pointantes, à l’arithmétique des cages, à la logique des lignes et au raisonnement sur carré latin.
Si vous vous êtes déjà demandé comment résoudre un sudoku difficile sans deviner, la réponse tient dans une petite boîte à outils utilisée avec patience. Chaque technique ci-dessous est accompagnée d’un exemple détaillé ou d’un lien vers le guide du casse-tête où elle compte le plus.
Candidats et annotations
Un candidat est un chiffre qui pourrait encore aller dans une case. La résolution logique est l’art de retirer des candidats jusqu’à ce qu’il n’en reste qu’un. Le jeu propose deux styles d’annotations : les marques de coin, utilisées par convention pour « ce chiffre va dans l’une de ces quelques cases de l’unité », et les marques centrales, pour « cette case vaut l’un de ces quelques chiffres ». Inutile d’annoter chaque case ; annotez là où cela vous aide à réfléchir.
Chaque grille de Hoot’s Puzzles a exactement une solution et peut être résolue par la seule logique. C’est important : si vous êtes bloqué, il existe toujours une étape que vous n’avez pas encore trouvée, et deviner n’est jamais nécessaire.
Les singletons : les premières techniques de résolution du sudoku
Singleton caché
Choisissez une unité (une ligne, une colonne, un bloc, ou toute région supplémentaire qu’ajoute une variante) et un chiffre. Si une seule case de l’unité peut accueillir ce chiffre, il va là. Les singletons cachés se trouvent par balayage : chaque exemplaire du chiffre ailleurs exclut sa ligne, sa colonne et son bloc.
Singleton nu
Choisissez une case. Si tous les chiffres sauf un sont exclus par les unités de la case, le dernier va là. Les singletons nus sont plus faciles à voir une fois les marques centrales posées.
À eux deux, les singletons résolvent la plupart des grilles faciles, et chaque Lemme du site peut être terminé avec les singletons et la règle propre à la variante.
Paires pointantes et réduction ligne-bloc
Quand les candidats d’un bloc pour un chiffre se trouvent tous sur une même ligne ou colonne, le chiffre doit être sur cette ligne à l’intérieur de ce bloc : on peut donc le retirer du reste de la ligne. C’est une paire pointante (ou un triplet pointant, avec trois cases).
La réduction ligne-bloc (le « claiming » des anglophones) en est l’image miroir : quand les candidats d’une ligne ou d’une colonne pour un chiffre se trouvent tous dans un même bloc, le chiffre peut être retiré du reste de ce bloc. Les grilles de rang Proposition peuvent demander ces coups.
Paires nues, paires cachées et triplets
Paires nues
Si deux cases d’une unité ont exactement les deux mêmes candidats, ces deux chiffres doivent aller dans ces deux cases, dans un ordre ou dans l’autre. Retirez les deux chiffres de toutes les autres cases de l’unité.
Paires cachées
Si deux chiffres ne peuvent aller que dans les deux mêmes cases d’une unité, ces cases contiennent forcément ces chiffres, et tous leurs autres candidats peuvent être retirés. Les paires cachées sont des paires nues vues de l’autre côté, et elles sont souvent plus faciles à repérer avec les marques de coin.
Triplets
L’idée s’étend à trois cases et trois chiffres. Un triplet nu n’exige pas que chaque case affiche les trois chiffres : des cases avec {1, 2}, {2, 3} et {1, 3} forment un triplet, car ensemble elles utilisent exactement trois chiffres. Les grilles Théorème et Conjecture peuvent demander des paires ; les triplets sont un regard supplémentaire bien utile.
Arithmétique des cages et règle du 45
Chaque ligne, colonne et bloc d’un sudoku 9×9 contient 1 à 9, dont la somme fait 45. Au sudoku killer, soustrayez de 45 les cages entièrement contenues dans une unité pour obtenir le total des cases restantes. Une case restante isolée à l’intérieur de l’unité est un innie ; une case de cage qui dépasse est un outie. La règle s’étend : deux unités totalisent 90, trois totalisent 135.
L’arithmétique des partitions consiste à réfléchir aux ensembles de chiffres qui permettent d’obtenir un total. Une cage de deux cases valant 10 peut être 1 + 9, 2 + 8, 3 + 7 ou 4 + 6, mais ne contient jamais de 5. Les petits et les grands totaux sont souvent imposés ; la liste complète figure dans le tableau des combinaisons ci-dessous. Le même raisonnement fait tourner le Killer, le Little Killer, le Sandwich, le Flèche, le Calcudoku et le Kakuro.
Parité
Les chiffres de 1 à 9 comptent cinq impairs et quatre pairs. Ce simple décompte va loin. Une cage de deux cases au total impair contient forcément un chiffre impair et un chiffre pair. Au sudoku XV, un X (somme 10) relie deux impairs ou deux pairs, tandis qu’un V (somme 5) relie toujours un de chaque. Dans les grilles Chimère, le grisé de parité le rend explicite : un carré gris est pair, un cercle gris impair. Et comme une unité complète contient cinq chiffres impairs, si quatre cases d’une ligne sont connues pour être paires, les cinq autres sont toutes impaires.
Logique des lignes : thermomètres, flèches, whispers et autres
Thermomètres. Sur un thermomètre de L cases, la k-ième case depuis le bulbe est comprise entre k et 9 − L + k. Tout chiffre placé sur un thermomètre ou à côté resserre chacune de ses cases.
Flèches. Le cercle vaut au moins la plus petite somme possible de sa flèche et au plus 9. Les cases d’une flèche qui partagent une unité sont différentes : trois d’entre elles totalisent donc au moins 6, et quatre ne peuvent pas être toutes différentes.
German Whispers. Deux voisines diffèrent d’au moins 5 : le 5 n’apparaît donc jamais, la ligne alterne bas (1–4) et haut (6–9), un 4 ne peut toucher qu’un 9 et un 6 qu’un 1.
Renban. Une ligne de L cases est une suite de L chiffres consécutifs. Les lignes de cinq cases contiennent forcément 5 ; celles de six cases, forcément 4, 5 et 6.
Between Lines. Les chiffres intérieurs ne valent jamais 1 ou 9, et les cercles doivent être assez éloignés pour loger chaque chiffre intérieur qui partage une unité.
Palindromes. Les cases symétriques contiennent le même chiffre : elles ne peuvent donc pas partager une unité, et tout candidat retiré d’une jumelle est retiré de l’autre.
Les points et les règles globales ont leurs propres motifs : les points noirs du Kropki n’autorisent que 1–2, 2–4, 3–6 et 4–8 ; les cases du non-consécutif repoussent leurs voisines ; l’anti-cavalier ajoute huit cases de plus à chaque balayage ; le Sudoku X et le Windoku ajoutent des unités supplémentaires, et les quatre fenêtres du Windoku créent discrètement cinq régions cachées de plus.
Raisonnement sur carré latin
Le Calcudoku, Inshi no Heya, les Gratte-ciel, les Gratte-ciel à somme, le Renzoku et le Futoshiki sont des carrés latins : une grille N×N où chaque ligne et chaque colonne contient 1 à N une fois, sans blocs. Les singletons, paires et triplets fonctionnent exactement comme au sudoku, avec les lignes et les colonnes seulement. Quelques outils supplémentaires :
- Totaux de ligne. Chaque ligne et chaque colonne a pour somme N(N + 1)/2 et pour produit N! : 15 et 120 en 5×5, 21 et 720 en 6×6, 28 et 5 040 en 7×7, 36 et 40 320 en 8×8. Au Calcudoku, cela permet de trouver la case isolée, comme la règle du 45.
- Facteurs premiers. Dans une cage ×, une cible divisible par 5 exige un 5 et une cible divisible par 7 exige un 7 (sur les grilles jusqu’à 8×8).
- Bornes de visibilité. Aux Gratte-ciel, la case située à k pas d’un indice c vaut au plus N − c + k, et deux indices opposés totalisent au plus N + 1.
- Chaînes d’inégalités. Au Futoshiki, une chaîne croissante de k cases commence au plus à N − k + 1 et se termine au moins à k.
- Chaque chiffre dans chaque ligne. Comme chaque ligne a besoin de tous les chiffres de 1 à N, demandez-vous « où va le N dans cette ligne ? » aussi souvent que « que met-on dans cette case ? ».
Tableau des combinaisons du kakuro et du killer
Ces totaux s’obtiennent d’une seule façon avec des chiffres distincts de 1 à 9. Ils s’appliquent aux séries du Kakuro, aux cages du sudoku Killer et à toute autre région dont les chiffres ne peuvent pas se répéter. Sur deux cases : 3 vaut toujours 1 + 2, 4 vaut 1 + 3, 16 vaut 7 + 9 et 17 vaut 8 + 9. Sur trois : 6 vaut 1 + 2 + 3, 7 vaut 1 + 2 + 4, 23 vaut 6 + 8 + 9 et 24 vaut 7 + 8 + 9. Sur quatre : 10 vaut 1 + 2 + 3 + 4, 11 vaut 1 + 2 + 3 + 5, 29 vaut 5 + 7 + 8 + 9 et 30 vaut 6 + 7 + 8 + 9.
| Longueur de la série | Totaux uniques et leurs chiffres |
|---|---|
| 2 cases | 3 = 1 + 2 4 = 1 + 3 16 = 7 + 9 17 = 8 + 9 |
| 3 cases | 6 = 1 + 2 + 3 7 = 1 + 2 + 4 23 = 6 + 8 + 9 24 = 7 + 8 + 9 |
| 4 cases | 10 = 1 + 2 + 3 + 4 11 = 1 + 2 + 3 + 5 29 = 5 + 7 + 8 + 9 30 = 6 + 7 + 8 + 9 |
| 5 cases | 15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 16 = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 34 = 4 + 6 + 7 + 8 + 9 35 = 5 + 6 + 7 + 8 + 9 |
| 6 cases | 21 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 22 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 7 38 = 3 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 39 = 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 |
| 7 cases | 28 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 29 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 8 41 = 2 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 42 = 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 |
| 8 cases | 36 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 37 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 9 38 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 8 + 9 39 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 7 + 8 + 9 40 = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 7 + 8 + 9 41 = 1 + 2 + 3 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 42 = 1 + 2 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 43 = 1 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 44 = 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 |
| 9 cases | 45 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 |
Remarquez la symétrie : une série de n cases totalisant t est unique exactement quand une série de 9 − n cases totalisant 45 − t l’est aussi, car les deux ensembles sont complémentaires. Chaque entrée a été générée en vérifiant par ordinateur tous les ensembles de chiffres distincts.
Comment résoudre un sudoku difficile quand vous êtes bloqué
- Relisez les règles à côté du plateau, surtout pour une Chimère. Une règle oubliée est la cause la plus fréquente de blocage.
- Faites un balayage propre des singletons cachés dans chaque unité, y compris les diagonales, les fenêtres et les régions cachées quand la variante en comporte.
- Vérifiez que vos annotations sont à jour. Une marque périmée peut masquer un singleton ou simuler une paire.
- Cherchez les paires pointantes et les réductions ligne-bloc dans chaque bloc.
- Cherchez les paires nues et cachées, puis les triplets.
- Repassez sur chaque marque d’indice : les cages proches de 45, les thermomètres proches d’un chiffre fraîchement placé, les points et les points absents.
- Demandez au professeur Hoot. L’indice montre la prochaine étape logique et explique pourquoi elle fonctionne.
Questions fréquentes
Quelle est la différence entre un singleton nu et un singleton caché ?
Un singleton nu est une case qui n’a qu’un seul chiffre possible. Un singleton caché est un chiffre qui n’a qu’une seule case possible dans une unité.
Que sont les paires nues ?
Deux cases d’une même unité qui ne peuvent contenir que les deux mêmes chiffres. Ces chiffres peuvent être retirés de toutes les autres cases de cette unité.
Qu’est-ce qu’une paire pointante ?
Quand les seuls candidats d’un chiffre dans un bloc se trouvent sur une même ligne ou colonne, il peut être retiré du reste de cette ligne ou colonne, hors du bloc.
Comment résoudre un sudoku difficile sans deviner ?
Tenez vos annotations à jour, balayez chaque unité à la recherche de singletons, cherchez ensuite le pointage, la réduction ligne-bloc, les paires et les triplets, et repassez sur chaque indice de variante. Chaque grille ici peut se résoudre ainsi.
Qu’est-ce que la règle du 45 ?
Chaque ligne, colonne et bloc contient 1 à 9, dont la somme fait 45 : le total des cases manquantes vaut donc 45 moins les cages connues.
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