Técnicas para resolver sudoku: da primeira varredura à Conjectura

Este é o guia completo do professor Hoot sobre técnicas para resolver sudoku e sobre a lógica por trás de todos os outros quebra-cabeças do site. Ele começa pela primeira varredura e avança até pares nus, pares apontadores, aritmética de gaiolas, lógica de linhas e raciocínio de quadrado latino.

Se você já se perguntou como resolver sudoku difícil sem chutar, a resposta é um pequeno kit de ferramentas usado com paciência. Cada técnica abaixo vem com um exemplo resolvido ou um link para o guia do quebra-cabeça em que ela mais importa.

Candidatos e anotações a lápis

Um candidato é um algarismo que ainda pode ir numa célula. Resolver com lógica é a arte de eliminar candidatos até sobrar só um. O jogo aceita dois estilos de anotação: marcas de canto, usadas por convenção para “este algarismo vai numa destas poucas células da unidade”, e marcas centrais, usadas para “esta célula é um destes poucos algarismos”. Você não precisa encher todas as células de marcas; anote onde isso ajuda você a pensar.

Todo quebra-cabeça do Hoot’s Puzzles tem exatamente uma solução e pode ser resolvido só com lógica. Isso importa: se você empacou, sempre existe um passo que você ainda não encontrou, e chutar nunca é necessário.

Únicos: as primeiras técnicas para resolver sudoku

Único oculto

Escolha uma unidade (uma linha, coluna ou bloco, ou qualquer região extra que uma variante acrescente) e um algarismo. Se só uma célula da unidade pode receber esse algarismo, ele vai ali. Os únicos ocultos são encontrados por varredura: cada cópia do algarismo em outro lugar elimina a sua linha, coluna e bloco.

Único nu

Escolha uma célula. Se todos os algarismos menos um são eliminados pelas unidades da célula, o que sobra vai ali. Os únicos nus ficam mais fáceis de ver quando você usa marcas centrais.

Juntos, os únicos resolvem a maioria dos quebra-cabeças fáceis, e todo Lema do site pode ser terminado com únicos mais a regra própria da variante.

Pares apontadores e reivindicação

Quando todos os candidatos de um bloco para um algarismo estão numa só linha ou coluna, o algarismo tem de estar nessa linha dentro desse bloco, então pode ser eliminado do resto da linha. Isso é um par apontador (ou trio apontador, com três células).

A reivindicação, também chamada de redução bloco/linha, é a imagem espelhada: quando todos os candidatos de uma linha ou coluna para um algarismo estão dentro de um só bloco, o algarismo pode ser eliminado do resto desse bloco. Os quebra-cabeças de nível Proposição podem exigir esses movimentos.

Pares nus, pares ocultos e trios

Pares nus

Se duas células de uma unidade têm exatamente os mesmos dois candidatos, esses dois algarismos têm de ir nessas duas células, em alguma ordem. Elimine os dois algarismos de todas as outras células da unidade.

Pares ocultos

Se dois algarismos só podem ir nas mesmas duas células de uma unidade, essas células têm de conter esses algarismos, e todos os outros candidatos podem ser eliminados delas. Pares ocultos são pares nus vistos pelo outro lado, e muitas vezes ficam mais fáceis de achar com marcas de canto.

Trios

A ideia se estende a três células e três algarismos. Um trio nu não exige que cada célula mostre os três algarismos: células com {1, 2}, {2, 3} e {1, 3} formam um trio, porque juntas usam exatamente três algarismos. Os quebra-cabeças de Teorema e Conjectura podem exigir pares; os trios são um olhar extra útil.

Aritmética de gaiolas e a regra do 45

Cada linha, coluna e bloco de um sudoku 9×9 contém de 1 a 9, que somam 45. No Sudoku Killer, subtraia de 45 as gaiolas que ficam inteiramente dentro de uma unidade para obter o total das células que sobram. Uma única célula que sobra dentro da unidade é uma innie; uma célula de gaiola que sai dela é uma outie. A regra vale em escala maior: duas unidades somam 90, três somam 135.

Aritmética de partições significa pensar em quais conjuntos de algarismos podem formar um total. Uma gaiola de duas células com 10 pode ser 1 + 9, 2 + 8, 3 + 7 ou 4 + 6, mas nunca contém um 5. Totais pequenos e grandes muitas vezes são forçados; a lista completa está na tabela de combinações abaixo. O mesmo raciocínio move o Killer, o Little Killer, o Sanduíche, o Seta, o Calcudoku e o Kakuro.

Paridade

Os algarismos de 1 a 9 têm cinco ímpares e quatro pares. Essa contagem simples rende muito. Uma gaiola de duas células com total ímpar precisa conter um algarismo ímpar e um par. No Sudoku XV, um X (soma 10) liga dois ímpares ou dois pares, enquanto um V (soma 5) sempre liga um de cada. Nos quebra-cabeças Quimera, o sombreamento de paridade deixa isso explícito: um quadrado cinza é par, um círculo cinza é ímpar. E como uma unidade completa contém cinco algarismos ímpares, se quatro células de uma linha são sabidamente pares, as outras cinco são todas ímpares.

Lógica de linhas: termômetros, setas, sussurros e mais

Termômetros. Num termômetro de L células, a k-ésima célula a partir do bulbo fica entre k e 9 − L + k. Qualquer algarismo que caia num termômetro ou ao lado dele aperta todas as células dele.

Setas. O círculo é no mínimo a menor soma possível da sua seta e no máximo 9. Células da seta que estão na mesma unidade precisam ser diferentes, então três delas somam no mínimo 6, e quatro não podem ser todas diferentes.

Sussurros Alemães. Vizinhos diferem em pelo menos 5, então o 5 nunca aparece, a linha alterna baixo (1–4) e alto (6–9), um 4 só pode tocar um 9 e um 6 só pode tocar um 1.

Renban. Uma linha de L células é uma sequência de L algarismos consecutivos. Linhas de cinco células precisam conter 5; linhas de seis células precisam conter 4, 5 e 6.

Entre Linhas. Os algarismos internos nunca são 1 nem 9, e os círculos precisam estar afastados o bastante para caber todo algarismo interno que esteja na mesma unidade.

Palíndromos. Células espelhadas contêm o mesmo algarismo, então não podem estar na mesma unidade, e qualquer candidato eliminado de uma gêmea é eliminado da outra.

Pontos e regras de grade inteira têm seus próprios padrões: os pontos pretos do Kropki só permitem 1–2, 2–4, 3–6 e 4–8; as células do Não Consecutivo afastam as vizinhas; o Anticavalo acrescenta mais oito células a cada varredura; o Sudoku X e o Windoku acrescentam unidades extras, e as quatro janelas do Windoku criam discretamente mais cinco regiões ocultas.

Raciocínio de quadrado latino

O Calcudoku, o Inshi no Heya, o Arranha-céus, o Arranha-céus com Somas, o Renzoku e o Futoshiki são quadrados latinos: uma grade N×N em que cada linha e coluna contém de 1 a N uma vez, sem blocos. Únicos, pares e trios funcionam exatamente como no sudoku, usando só linhas e colunas. Algumas ferramentas extras:

• Totais das linhas. Cada linha e coluna soma N(N + 1)/2 e tem produto N!: 15 e 120 num 5×5, 21 e 720 num 6×6, 28 e 5.040 num 7×7, 36 e 40.320 num 8×8. No Calcudoku, isso revela a célula que sobra, como a regra do 45.
• Fatores primos. Numa gaiola ×, um alvo divisível por 5 precisa de um 5, e um divisível por 7 precisa de um 7 (em grades de até 8×8).
• Limites de visibilidade. No Arranha-céus, a célula a k passos de uma pista c é no máximo N − c + k, e pistas opostas somam no máximo N + 1.
• Cadeias de desigualdade. No Futoshiki, uma cadeia crescente de k células começa em no máximo N − k + 1 e termina em no mínimo k.
• Todo algarismo em toda linha. Como cada linha precisa de todos os algarismos de 1 a N, pergunte “onde vai o N nesta linha?” com a mesma frequência com que pergunta “o que vai nesta célula?”.

Tabela de combinações do Kakuro e do Killer

Estes totais podem ser formados de exatamente um jeito com algarismos distintos de 1 a 9. Eles valem para sequências do Kakuro, gaiolas do Sudoku Killer e qualquer outra região cujos algarismos não podem se repetir. Para duas células: 3 é sempre 1 + 2, 4 é 1 + 3, 16 é 7 + 9 e 17 é 8 + 9. Para três: 6 é 1 + 2 + 3, 7 é 1 + 2 + 4, 23 é 6 + 8 + 9 e 24 é 7 + 8 + 9. Para quatro: 10 é 1 + 2 + 3 + 4, 11 é 1 + 2 + 3 + 5, 29 é 5 + 7 + 8 + 9 e 30 é 6 + 7 + 8 + 9.

Repare na simetria: uma sequência de n células com total t é única exatamente quando uma sequência de 9 − n células com total 45 − t também é, porque os dois conjuntos são complementares. Cada entrada foi gerada por computador, verificando todos os conjuntos de algarismos distintos.

Como resolver sudoku difícil quando você empaca

1. Releia as regras ao lado do tabuleiro, principalmente num Quimera. Uma regra esquecida é a causa mais comum de empacar.
2. Faça uma varredura limpa em busca de únicos ocultos em todas as unidades, incluindo diagonais, janelas e regiões ocultas quando a variante as tiver.
3. Confira se as suas anotações estão atualizadas. Uma anotação desatualizada pode esconder um único ou simular um par.
4. Procure pares apontadores e reivindicações em cada bloco.
5. Procure pares nus e ocultos, depois trios.
6. Revise cada marca de pista: gaiolas perto de 45, termômetros perto de um algarismo recém-colocado, pontos e ausências de pontos.
7. Peça ajuda ao professor Hoot. A dica mostra o próximo passo lógico e explica por que ele funciona.

Guias de todos os tipos de quebra-cabeça

• Sudoku ClássicoLinhas, colunas e blocos, nada mais. Lógica pura no seu estado mais limpo.
• Sudoku KillerGaiolas com somas em vez de algarismos dados. Aritmética de partições e a regra do 45.
• Sudoku TermômetroOs algarismos aumentam estritamente do bulbo até a ponta. Conte as células, limite as pontas.
• Sudoku SetaO algarismo do círculo é igual à soma ao longo da sua seta. Limite círculos e setas.
• Sudoku KropkiPontos brancos para pares consecutivos, pretos para a razão 1:2. A falta de ponto também conta.
• Sudoku XVX marca um par que soma 10; V, um par que soma 5. Todos são mostrados.
• Sudoku SanduícheAs pistas externas somam os algarismos presos entre o 1 e o 9.
• Sussurros AlemãesVizinhos numa linha verde diferem em pelo menos 5. Ali, o 5 é impossível.
• Sudoku XAs duas diagonais principais são unidades extras. Também chamado de sudoku diagonal.
• Sudoku AnticavaloNenhum algarismo se repete a um movimento de cavalo de distância.
• Sudoku RenbanLinhas roxas contêm sequências de algarismos consecutivos, em qualquer ordem.
• Sudoku PalíndromoLinhas cinza são lidas da mesma forma pelas duas pontas. Células gêmeas têm o mesmo algarismo.
• Entre LinhasTodo algarismo de uma linha fica estritamente entre os dois círculos das pontas.
• Sudoku Little KillerPistas externas somam as diagonais para onde suas setas apontam.
• WindokuQuatro janelas sombreadas são unidades 3×3 extras. Também conhecido como hipersudoku.
• Sudoku Não ConsecutivoCélulas lado a lado nunca têm algarismos consecutivos.
• Sudoku QuimeraDois ou três conjuntos de regras num só quebra-cabeça. O desafio do dia.
• CalcudokuUm quadrado latino com gaiolas aritméticas: + − × ÷. Tamanhos de 5×5 a 8×8.
• KakuroPalavras cruzadas numéricas: sequências de algarismos distintos de 1 a 9 que atingem suas somas.
• Arranha-céusAs pistas das bordas contam os prédios que você consegue ver. Os mais altos escondem os mais baixos.
• FutoshikiUm quadrado latino com sinais < e > entre células vizinhas.
• SuguruCada região contém de 1 até o seu tamanho, e algarismos iguais nunca se tocam, nem na diagonal.
• StraightsCélulas pretas dividem as linhas em compartimentos; cada compartimento é uma sequência de algarismos consecutivos.
• Inshi no HeyaUm quadrado latino de salas. Cada sala mostra o produto dos seus algarismos.
• Ripple EffectCada região contém de 1 até o seu tamanho, e algarismos iguais ficam a pelo menos essa quantidade de células de distância.
• RenzokuUm quadrado latino em que um ponto marca cada par consecutivo, e a ausência de ponto significa que não são consecutivos.
• Arranha-céus com SomasArranha-céus em que cada pista é a altura total dos prédios que você consegue ver.