数独の解き方のテクニック：最初の探索から予想まで

これは、数独の解き方のテクニックと、このサイトにある他のすべてのパズルの背後にある論理についての、ホー教授による完全ガイドです。最初の探索から始め、裸のペア、ポインティングペア、ケージの計算、線のロジック、ラテン方陣の推論へと積み上げていきます。

当て推量なしで難しい数独を解くにはどうすればよいのか、と思ったことがあるなら、答えは小さな道具箱を根気よく使うことです。以下の各テクニックには、解き方の例か、それが最も活きるパズルのガイドへのリンクを付けています。

候補とメモ

候補とは、そのマスにまだ入る可能性のある数字のことです。論理で解くとは、候補を1つだけになるまで消していく技術です。このゲームでは2種類のメモが使えます。隅メモは、慣例として「この数字は領域内のこの数マスのどれかに入る」ことを表し、中央メモは「このマスはこの数個の数字のどれかになる」ことを表します。すべてのマスをメモで埋める必要はありません。考える助けになるところにだけ書き込みましょう。

Hoot’s Puzzlesのどのパズルも解はちょうど1つで、論理だけで解けます。これは重要なことです。行き詰まったとしても、まだ見つけていない一手が必ずあり、当て推量が必要になることは決してありません。

シングル：数独の最初の解き方テクニック

隠れたシングル

領域（行・列・ブロック、あるいはバリエーションが追加する領域）と数字を1つずつ選びます。その領域でその数字が入れるマスが1つしかなければ、そこに入ります。隠れたシングルは探索で見つけます。他の場所にあるその数字は、それぞれ自分の行・列・ブロックを除外します。

裸のシングル

マスを1つ選びます。そのマスが属する領域によって1つを除くすべての数字が除外されれば、残った1つがそこに入ります。裸のシングルは、中央メモを書き込んでおくと最も見つけやすくなります。

シングルだけで簡単なパズルのほとんどは解けます。このサイトの補題はどれも、シングルとそのバリエーション独自のルールだけで解き切れます。

ポインティングペアとクレーミング

あるブロックで、ある数字の候補がすべて1つの行か列にあるなら、その数字はそのブロック内のその線上に入るはずなので、線の残りの部分からその数字を消せます。これがポインティングペア（3マスならポインティングトリプル）です。

クレーミングはボックス・ライン・リダクションとも呼ばれ、その裏返しです。ある行や列で、ある数字の候補がすべて1つのブロックの中にあるなら、そのブロックの残りのマスからその数字を消せます。命題ランクのパズルでは、こうした手が必要になることがあります。

裸のペア、隠れたペア、トリプル

裸のペア

ある領域の2マスの候補がまったく同じ2つの数字なら、その2つの数字は順不同でその2マスに入ります。その領域の他のすべてのマスから、両方の数字を消しましょう。

隠れたペア

ある領域で2つの数字が同じ2マスにしか入れないなら、その2マスにはその2つの数字が入り、他の候補はすべて消せます。隠れたペアは裸のペアを裏側から見たもので、隅メモを使うと見つけやすいことがよくあります。

トリプル

この考え方は3マスと3つの数字にも広げられます。裸のトリプルでは、すべてのマスに3つの数字すべてが候補として出ている必要はありません。{1, 2}、{2, 3}、{1, 3}のマスはトリプルになります。3マス合わせてちょうど3つの数字を使うからです。定理や予想のパズルではペアが必要になることがあり、トリプルも見えると役に立ちます。

ケージの計算と45の法則

9×9の数独のどの行・列・ブロックにも1〜9が入り、その合計は45です。キラー数独では、1つの領域の中に完全に収まるケージの合計を45から引けば、残ったマスの合計がわかります。領域の内側に1マスだけ残ったマスをイニー、ケージのうち領域の外へはみ出したマスをアウティーと呼びます。この法則は規模を広げても使え、2つの領域なら合計90、3つなら135です。

数の分割の計算とは、どの数字の組で合計を作れるかを考えることです。2マスで10のケージは1 + 9、2 + 8、3 + 7、4 + 6のいずれかで、5は決して入りません。小さい合計や大きい合計は1通りに決まることが多く、完全なリストは下の組み合わせ表にあります。同じ考え方が、キラー、リトルキラー、サンドイッチ、アロー、カルクドク、カックロの原動力になっています。

偶奇

1〜9の数字には、奇数が5つ、偶数が4つあります。この単純な数え方が大いに役立ちます。合計が奇数の2マスのケージには、奇数と偶数が1つずつ入ります。XV数独では、X（合計10）は奇数同士か偶数同士をつなぎ、V（合計5）は常に奇数と偶数を1つずつつなぎます。キメラのパズルでは、偶奇の色付きマスがそれをはっきり示します。灰色の四角は偶数、灰色の丸は奇数です。そして、1つの完全な領域には奇数が5つ入るので、ある行の4マスが偶数だとわかれば、残りの5マスはすべて奇数です。

線のロジック：温度計、矢印、ウィスパーなど

温度計。Lマスの温度計では、球からk番目のマスはkから9 − L + kの間にあります。温度計の上や隣に数字が入るたびに、その上のすべてのマスの範囲が狭まります。

矢印。丸の数字は、矢印の合計の最小値以上、9以下です。同じ領域にある矢印のマスは異なる数字になるので、3マスなら合計は6以上、4マスならすべて異なることはありえません。

ジャーマン・ウィスパー。隣り合う数字は5以上離れているので、5は決して現れず、線上では小さい数字（1〜4）と大きい数字（6〜9）が交互に並び、4は9としか、6は1としか接することができません。

連番。Lマスの線には、L個の連続する数字の並びが入ります。5マスの線には必ず5が、6マスの線には必ず4、5、6が入ります。

ビトウィーンライン。内側の数字が1や9になることはなく、丸同士は、同じ領域にある内側の数字がすべて収まるだけ離れていなければなりません。

回文。鏡写しのマスには同じ数字が入るので、同じ領域になることはなく、一方の双子から消えた候補はもう一方からも消えます。

点や盤全体のルールにも、それぞれ独自のパターンがあります。クロプキの黒い点に入れるのは1–2、2–4、3–6、4–8だけ。非連続のマスは隣の数字を遠ざけます。アンチナイトは毎回の探索に8マスを追加します。数独Xとウィンドクは領域を追加し、ウィンドクの4つの窓はさらに5つの隠れた領域をひっそりと生み出します。

ラテン方陣の推論

カルクドク、因子の部屋、ビルディング、足し算ビルディング、連続、不等式はラテン方陣です。N×Nの盤の各行・各列に1〜Nが1つずつ入り、ブロックはありません。シングル、ペア、トリプルは、行と列だけを使って数独とまったく同じように使えます。追加の道具もいくつかあります。

• 行の合計。各行・各列の合計はN(N + 1)/2、積はN!です。5×5なら15と120、6×6なら21と720、7×7なら28と5,040、8×8なら36と40,320。カルクドクでは、45の法則のように、これで残り1マスの数字がわかります。
• 素因数。×ケージでは、目標の数が5で割り切れるなら5が、7で割り切れるなら7が必要です（8×8までの盤の場合）。
• 見え方による範囲。ビルディングでは、ヒントcからkマスのマスは最大でN − c + kで、向かい合うヒントの合計は最大でN + 1です。
• 不等号の連鎖。不等式では、kマスの上昇する連鎖の始まりはN − k + 1以下、終わりはk以上です。
• どの線にもすべての数字。各行には1〜Nのすべてが必要なので、「このマスに何が入る？」と同じくらい頻繁に、「この行のNはどこに入る？」と問いかけましょう。

カックロとキラーの組み合わせ表

以下の合計は、1〜9の異なる数字でちょうど1通りの方法でしか作れません。カックロの連なり、キラー数独のケージ、そして数字が重複できない他のあらゆる領域に当てはまります。2マスの場合：3は必ず1 + 2、4は1 + 3、16は7 + 9、17は8 + 9。3マスの場合：6は1 + 2 + 3、7は1 + 2 + 4、23は6 + 8 + 9、24は7 + 8 + 9。4マスの場合：10は1 + 2 + 3 + 4、11は1 + 2 + 3 + 5、29は5 + 7 + 8 + 9、30は6 + 7 + 8 + 9です。

対称性に注目しましょう。合計tのnマスの連なりが1通りに決まるのは、合計45 − tの9 − nマスの連なりが1通りに決まるときとちょうど同じです。2つの組は互いに補集合だからです。すべての項目は、異なる数字のすべての組をコンピューターで調べて生成しました。

行き詰まったときの難しい数独の解き方

1. 盤の横のルールを読み直しましょう。特にキメラでは大切です。ルールの見落としが、行き詰まりの最もよくある原因です。
2. バリエーションに対角線、窓、隠れた領域があればそれも含めて、すべての領域で隠れたシングルを一から探し直しましょう。
3. メモが最新の状態か確認しましょう。古いメモはシングルを隠したり、偽のペアを作ったりします。
4. 各ブロックでポインティングペアとクレーミングを探しましょう。
5. 裸のペアと隠れたペア、次にトリプルを探しましょう。
6. すべてのヒント記号を見直しましょう。45に近いケージ、新しく置いた数字の近くの温度計、点と点がない場所。
7. ホー教授に聞いてみましょう。ヒントが次の論理的な一手を示し、なぜそうなるのかを説明してくれます。

すべてのパズルのガイド

• クラシック数独行、列、ブロックだけ。最も純粋な形のロジック。
• キラー数独与えられた数字の代わりに、合計付きのケージ。数の分割と45の法則。
• サーモ数独数字は球から先端へ必ず大きくなります。マスを数え、両端の範囲を絞りましょう。
• アロー数独丸の数字は、矢印に沿った数字の合計と等しくなります。丸と矢印の範囲を絞りましょう。
• クロプキ数独白い点は連続するペア、黒い点は1:2の比。点がないことにも意味があります。
• XV数独Xは合計10、Vは合計5のペアを示します。該当するものはすべて表示されています。
• サンドイッチ数独外側のヒントは、1と9にはさまれた数字の合計です。
• ジャーマン・ウィスパー緑の線上で隣り合う数字は5以上離れています。線上に5は入れません。
• 数独X2本の主対角線も追加の領域です。対角線数独とも呼ばれます。
• アンチナイト数独チェスのナイトの動き1回分の位置に、同じ数字は入りません。
• 連番数独紫の線には、連続する数字が順不同で入ります。
• 回文数独灰色の線は、どちらの端から読んでも同じです。対になるマスには同じ数字が入ります。
• ビトウィーンライン線上のどの数字も、両端の丸の数字の間に入ります。
• リトルキラー数独外側のヒントは、矢印が指す対角線上の数字の合計です。
• ウィンドク色付きの4つの窓も、追加の3×3の領域です。ハイパー数独とも呼ばれます。
• 非連続数独隣り合うマスに、連続する数字は入りません。
• キメラ数独2〜3種類のルールを1つのパズルに重ねたもの。デイリーパズルです。
• カルクドク+ − × ÷ の計算ケージがあるラテン方陣。サイズは5×5〜8×8。
• カックロ数字のクロスワード。1〜9の異なる数字の連なりで、合計を作ります。
• ビルディング外周のヒントは、見えるビルの数です。高いビルは低いビルを隠します。
• 不等式隣り合うマスの間に < と > の記号があるラテン方陣。
• スグル各領域には1からそのマス数までの数字が入り、同じ数字は斜めも含めて接しません。
• ストレーツ黒いマスが行や列を区画に分け、各区画には連続する数字が入ります。
• 因子の部屋部屋に分かれたラテン方陣。各部屋には中の数字の積が示されています。
• 波及効果各領域には1からそのマス数までの数字が入り、同じ数字はその数以上のマスを空けて並びます。
• 連続連続するペアすべてに点が付いたラテン方陣。点がなければ連続ではありません。
• 足し算ビルディング各ヒントが、見えるビルの高さの合計になっているビルディング。