Tecniche di risoluzione del sudoku: dalla prima scansione alla Congettura

Questa è la guida completa del professor Hoot alle tecniche di risoluzione del sudoku, e alla logica dietro tutti gli altri puzzle del sito. Parte dalla prima scansione e arriva fino a coppie nude, coppie puntanti, aritmetica delle gabbie, logica delle linee e ragionamento da quadrato latino.

Se ti sei mai chiesto come risolvere i sudoku difficili senza tirare a indovinare, la risposta è una piccola cassetta degli attrezzi usata con pazienza. Ogni tecnica qui sotto ha un esempio svolto o un link alla guida del puzzle in cui conta di più.

Candidati e annotazioni

Un candidato è una cifra che potrebbe ancora andare in una cella. Risolvere con la logica è l’arte di eliminare candidati finché ne resta uno solo. Il gioco supporta due stili di annotazione: i segni d’angolo, usati per convenzione per dire «questa cifra va in una di queste poche celle dell’unità», e i segni centrali, usati per dire «questa cella è una di queste poche cifre». Non devi riempire ogni cella di segni; annota dove ti aiuta a ragionare.

Ogni puzzle su Hoot’s Puzzles ha esattamente una soluzione e si può risolvere con la sola logica. Questo conta: se ti blocchi, c’è sempre un passo che non hai ancora trovato, e tirare a indovinare non è mai necessario.

Singoli: le prime tecniche di risoluzione del sudoku

Singolo nascosto

Scegli un’unità (una riga, una colonna, un riquadro o qualsiasi regione extra aggiunta da una variante) e una cifra. Se una sola cella dell’unità può accogliere quella cifra, la cifra va lì. I singoli nascosti si trovano con la scansione: ogni copia della cifra altrove esclude la sua riga, la sua colonna e il suo riquadro.

Singolo nudo

Scegli una cella. Se tutte le cifre tranne una sono escluse dalle unità della cella, quella rimasta va lì. I singoli nudi sono più facili da vedere quando hai i segni centrali.

Insieme, i singoli risolvono la maggior parte dei puzzle facili, e ogni Lemma del sito si può completare con i singoli più la regola della variante.

Coppie puntanti e riduzione

Quando i candidati di un riquadro per una cifra stanno tutti in una riga o colonna, la cifra deve trovarsi in quella linea all’interno di quel riquadro, quindi la si può eliminare dal resto della linea. È una coppia puntante (o terna puntante, con tre celle).

La riduzione, detta anche riduzione riquadro/linea, è l’immagine speculare: quando i candidati di una riga o colonna per una cifra stanno tutti dentro un riquadro, la cifra si può eliminare dal resto di quel riquadro. I puzzle di livello Proposizione possono richiedere queste mosse.

Coppie nude, coppie nascoste e terne

Coppie nude

Se due celle di un’unità hanno esattamente gli stessi due candidati, quelle due cifre devono andare in quelle due celle, in qualche ordine. Elimina entrambe le cifre da tutte le altre celle dell’unità.

Coppie nascoste

Se due cifre possono andare solo nelle stesse due celle di un’unità, quelle celle devono contenere quelle cifre, e ogni altro candidato può essere eliminato da esse. Le coppie nascoste sono coppie nude viste dall’altro lato, e spesso sono più facili da individuare con i segni d’angolo.

Terne

L’idea si estende a tre celle e tre cifre. In una terna nuda non serve che ogni cella mostri tutte e tre le cifre: celle con {1, 2}, {2, 3} e {1, 3} formano una terna, perché insieme usano esattamente tre cifre. I puzzle Teorema e Congettura possono richiedere le coppie; le terne sono un occhio in più che torna utile.

Aritmetica delle gabbie e regola del 45

Ogni riga, colonna e riquadro di un sudoku 9×9 contiene le cifre da 1 a 9, che sommano 45. Nel Killer Sudoku, sottrai da 45 le gabbie che stanno interamente dentro un’unità per ottenere il totale delle celle rimaste. Una singola cella rimasta dentro l’unità è una cella interna; una cella di una gabbia che sporge fuori è una cella esterna. La regola si estende: due unità sommano 90, tre sommano 135.

L’aritmetica delle partizioni significa ragionare su quali insiemi di cifre possono formare un totale. Una gabbia di due celle da 10 può essere 1 + 9, 2 + 8, 3 + 7 o 4 + 6, ma non contiene mai un 5. I totali piccoli e grandi sono spesso obbligati; l’elenco completo è nella tabella delle combinazioni qui sotto. Lo stesso ragionamento fa funzionare Killer, Little Killer, Sandwich, Freccia, Calcudoku e Kakuro.

Parità

Le cifre da 1 a 9 comprendono cinque dispari e quattro pari. Questo semplice conteggio porta lontano. Una gabbia di due celle con totale dispari deve contenere una cifra dispari e una pari. Nel Sudoku XV una X (somma 10) unisce due dispari o due pari, mentre una V (somma 5) unisce sempre una di ciascun tipo. Nei puzzle Chimera l’ombreggiatura di parità lo rende esplicito: un quadrato grigio è pari, un cerchio grigio dispari. E poiché un’unità completa contiene cinque cifre dispari, se quattro celle di una riga sono pari, le altre cinque sono tutte dispari.

Logica delle linee: termometri, frecce, whispers e altro

Termometri. Su un termometro di L celle, la k-esima cella dal bulbo sta tra k e 9 − L + k. Ogni cifra che cade su un termometro o accanto a esso restringe tutte le sue celle.

Frecce. Il cerchio vale almeno la somma più piccola possibile della sua freccia e al massimo 9. Le celle di una freccia che condividono un’unità devono essere diverse, quindi tre di esse sommano almeno 6, e quattro non possono essere tutte diverse.

German Whispers. Le vicine differiscono di almeno 5, quindi il 5 non compare mai, la linea alterna basse (1–4) e alte (6–9), un 4 può toccare solo il 9 e un 6 solo l’1.

Renban. Una linea di L celle è una sequenza di L cifre consecutive. Le linee di cinque celle devono contenere il 5; quelle di sei celle devono contenere 4, 5 e 6.

Between Lines. Le cifre interne non sono mai 1 o 9, e i cerchi devono essere abbastanza distanti da far stare tutte le cifre interne che condividono un’unità.

Palindromi. Le celle speculari contengono la stessa cifra, quindi non possono condividere un’unità, e ogni candidato eliminato da una gemella è eliminato anche dall’altra.

I punti e le regole globali hanno i loro schemi: i punti neri del Kropki ammettono solo 1–2, 2–4, 3–6 e 4–8; le celle del Non Consecutivo respingono le vicine; l’Anti-Cavallo aggiunge otto celle in più a ogni scansione; Sudoku X e Windoku aggiungono unità extra, e le quattro finestre del Windoku creano in silenzio altre cinque regioni nascoste.

Ragionamento da quadrato latino

Calcudoku, Inshi no Heya, Grattacieli, Grattacieli a somma, Renzoku e Futoshiki sono quadrati latini: una griglia N×N in cui ogni riga e colonna contiene le cifre da 1 a N una volta, senza riquadri. Singoli, coppie e terne funzionano esattamente come nel sudoku, usando solo righe e colonne. Qualche strumento in più:

• Totali di riga. Ogni riga e colonna ha somma N(N + 1)/2 e prodotto N!: 15 e 120 su un 5×5, 21 e 720 su un 6×6, 28 e 5.040 su un 7×7, 36 e 40.320 su un 8×8. Nel Calcudoku questo trova la cella spaiata, come la regola del 45.
• Fattori primi. In una gabbia ×, un risultato divisibile per 5 richiede un 5 e uno divisibile per 7 richiede un 7 (su griglie fino a 8×8).
• Limiti di visibilità. Nei Grattacieli, la cella a k passi da un indizio c vale al massimo N − c + k, e gli indizi opposti sommano al massimo N + 1.
• Catene di disuguaglianze. Nel Futoshiki, una catena crescente di k celle inizia al massimo da N − k + 1 e finisce almeno a k.
• Ogni cifra in ogni linea. Poiché ogni riga ha bisogno di tutte le cifre da 1 a N, chiediti «dove va la N in questa riga?» tanto spesso quanto «cosa va in questa cella?».

Tabella delle combinazioni per Kakuro e Killer

Questi totali si possono formare in un solo modo con cifre distinte da 1 a 9. Valgono per le sequenze del Kakuro, le gabbie del Killer Sudoku e qualsiasi altra regione le cui cifre non possono ripetersi. Per due celle: 3 è sempre 1 + 2, 4 è 1 + 3, 16 è 7 + 9 e 17 è 8 + 9. Per tre: 6 è 1 + 2 + 3, 7 è 1 + 2 + 4, 23 è 6 + 8 + 9 e 24 è 7 + 8 + 9. Per quattro: 10 è 1 + 2 + 3 + 4, 11 è 1 + 2 + 3 + 5, 29 è 5 + 7 + 8 + 9 e 30 è 6 + 7 + 8 + 9.

Nota la simmetria: una sequenza di n celle con totale t è unica esattamente quando lo è una sequenza di 9 − n celle con totale 45 − t, perché i due insiemi sono complementari. Ogni voce è stata generata controllando al computer tutti gli insiemi di cifre distinte.

Come risolvere i sudoku difficili quando ti blocchi

1. Rileggi le regole accanto alla griglia, soprattutto in una Chimera. Una regola dimenticata è la causa più comune dei blocchi.
2. Fai una scansione pulita in cerca di singoli nascosti in ogni unità, comprese diagonali, finestre e regioni nascoste quando la variante le prevede.
3. Controlla che le annotazioni siano aggiornate. Un’annotazione vecchia può nascondere un singolo o simulare una coppia.
4. Cerca coppie puntanti e riduzioni in ogni riquadro.
5. Cerca coppie nude e nascoste, poi le terne.
6. Ripassa ogni segno di indizio: gabbie vicine a 45, termometri vicini a una cifra appena inserita, punti e punti assenti.
7. Chiedi al professor Hoot. L’aiuto mostra il passo logico successivo e spiega perché funziona.

Guide a ogni tipo di puzzle

• Sudoku ClassicoRighe, colonne e riquadri, nient’altro. La logica pura nella sua forma più limpida.
• Killer SudokuGabbie con somme al posto delle cifre date. Aritmetica delle partizioni e regola del 45.
• Sudoku TermometroLe cifre aumentano strettamente dal bulbo alla punta. Conta le celle, limita le estremità.
• Sudoku FrecciaLa cifra nel cerchio è uguale alla somma lungo la sua freccia. Limita cerchi e frecce.
• Sudoku KropkiPunti bianchi per le coppie consecutive, neri per il rapporto 1:2. Anche i punti assenti contano.
• Sudoku XVLa X segna una coppia con somma 10, la V una coppia con somma 5. Sono mostrate tutte.
• Sudoku SandwichGli indizi esterni sommano le cifre racchiuse tra l’1 e il 9.
• German WhispersLe cifre vicine su una linea verde differiscono di almeno 5. Lì il 5 è impossibile.
• Sudoku XLe due diagonali principali sono unità in più. Detto anche sudoku diagonale.
• Sudoku Anti-CavalloNessuna cifra si ripete a una mossa di cavallo di distanza.
• Sudoku RenbanLe linee viola contengono sequenze di cifre consecutive, in qualsiasi ordine.
• Sudoku PalindromoLe linee grigie si leggono uguali da entrambi i capi. Le celle gemelle hanno la stessa cifra.
• Between LinesOgni cifra su una linea sta strettamente tra le due estremità cerchiate.
• Little Killer SudokuGli indizi esterni sommano le diagonali indicate dalle loro frecce.
• WindokuQuattro finestre ombreggiate sono unità 3×3 in più. Noto anche come hyper sudoku.
• Sudoku Non ConsecutivoCelle affiancate non contengono mai cifre consecutive.
• Sudoku ChimeraDue o tre insiemi di regole in un unico puzzle. Il puzzle del giorno.
• CalcudokuUn quadrato latino con gabbie aritmetiche: + − × ÷. Dimensioni da 5×5 a 8×8.
• KakuroUn cruciverba numerico: sequenze di cifre distinte da 1 a 9 che raggiungono le loro somme.
• GrattacieliGli indizi sui bordi contano gli edifici che vedi. I più alti nascondono i più bassi.
• FutoshikiUn quadrato latino con segni < e > tra celle vicine.
• SuguruLe regioni contengono da 1 fino alla loro dimensione, e cifre uguali non si toccano mai, nemmeno in diagonale.
• StraightsLe celle nere dividono le linee in scomparti; ogni scomparto è una sequenza di cifre consecutive.
• Inshi no HeyaUn quadrato latino di stanze. Ogni stanza mostra il prodotto delle sue cifre.
• Ripple EffectLe regioni contengono da 1 fino alla loro dimensione, e cifre uguali restano distanti almeno altrettante celle.
• RenzokuUn quadrato latino in cui un punto segna ogni coppia consecutiva, e nessun punto significa non consecutive.
• Grattacieli a sommaGrattacieli in cui ogni indizio è l’altezza totale delle torri che vedi.